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La circonstance opposée aurait réglé une fois pour toutes le sort de l'hypothèse
de Goldbach. Si en essayant tous les nombres premiers inférieurs à un nombre
pair donné, tel que 60, on ne parvient jamais à une décomposition en une somme
de deux nombres premiers, on est conduit à rejeter I'hypothèse de façon
irrévocable. Ayant vérifié l'hypothèse dans le cas du nombre pair 60, on ne peut
parvenir à une conclusion aussi nette. On ne prouve certainement pas le théorème
par une vérification unique. Il est néanmoins naturel d'interpréter une telle
vérification comme un signe favorableà l'hypothèse, comme un signe
susceptible d'augmenter son crédit, bien que l'importance à attacher à ce signe
favorable dépende du jugement de chacun.
Revenons au nombre 60. Après avoir essayé les nombres entiers 3, 5 et 7, nous
pouvons essayer les autres nombres premiers inférieurs à 30. (Il est clair qu'il
n'est pas nécessaire d'aller au-delà de 30, égal à 60/2, puisque l'un des deux
nombres premiers, dont la somme doit être 60, est obligatoirement inférieur à
30.) Nous obtenons ainsi toutes les décompositions possibles de 60 en une
somme de deux nombres premiers:
60 = 7 + 53 = 13 + 47 = 17 + 43 = 19 + 41 = 23 + 37 = 29 + 31
Nous pouvons continuer systématiquement et examiner les nombres pairs les
uns après les autres, comme nous l'avons fait pour le seul nombre 60.
Nous pouvons construire un tableaudes résultats :
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L'hypothèse est vérifiée dans tous les cas examinés ici. Toute vérification qui
permet d'enrichir le tableau renforce l'hypothèse, la rend plus vraisemblable,
plus plausible.
Ce n'est certes pas avec ces vérifications-là que nous pouvons prouver
l'hypothèse. Nous devons examiner les observations que nous avons réunies,
nous devons les comparer et les associer, nous devons chercher les indices qui
peuvent s'y trouver cachés. Dans le cas qui nous occupe il est très difficile de
trouver un indice important dans le tableau, mais en l'examinant, nous pouvons
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