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Annexe 1

3 + 7 = 10,3 + 17 = 20,13 + 17 = 30

et que vous remarquiez une certaine ressemblance entre elles. Vous êtes frappé par le fait que les nombres 3, 7, 13 et 17 sont des nombres premiers impairs. La somme de deux nombres premiers impairs est nécessairement un nombre pair ; en fait, 10, 20 et 30 sont pairs. Mais que penser des autres nombres pairs. Se comportent-ils de la même manière ? Le premier nombre pair qui soit somme de deux nombres premiers impairs est, naturellement,

6 = 3 + 3.

Après le nombre 6, nous voyons que
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
16 = 3 + 13 = 5 + 11.

Cela continuera-t-il ainsi indéfiniment ? Quoi qu'il en soit les cas particuliers observés suggèrent une proposition de caractère général: Tout nombre entier supérieur à 4 est la somme de deux nombres premiers impairs. L'examen des cas d'exception, 2 et 4, correspondant à des nombres qui ne peuvent être décomposés en une somme de deux nombres premiers impairs, conduit à préférer la proposition plus complexe suivante : Tout nombre entier qui n'est ni un nombre premier ni le carré d'un nombre premier, est la somme de deux nombres premiers impairs.
Nous avons ainsi fait une hypothèse(au sens des physiciens). Nous y sommes parvenus par induction. C'est-à-dire qu'elle nous a été suggérée par l'observation, qu'elle nous a été indiquée par des exemples particuliers. Ces indices sont assez peu convaincants ; les bases sur lesquelles fonder notre hypothèse sont encore peu solides. Nous pouvons, néanmoins, trouver quelque consolation dans le fait que le mathématicien Goldbach, qui l'émit il y a un peu plus de deux cents ans, ne possédait pas de justification meilleure. L'hypothèse de Goldbach est-elle vraie ? Personne ne peut aujourd'hui répondre à cette question. En dépit des efforts de quelques grands mathématiciens, l'hypothèse de Goldbach se trouve être, comme au temps d'Euler, l'une de ces «nombreuses propriétés des nombres qui nous sont familières mais que nous ne sommes pas encore capables de prouver» ou de réfuter.
Revenons maintenant en arrière et essayons de discerner quelles étapes, dans le raisonnement précédent, peuvent être considérées comme typiques de la démarche inductive.